Ciao a tutti, sto studiando relatività ristretta per un esame dell’università. Oltre agli appunti del professore, invero molto chiari, ho deciso di approfondire diversi concetto attraverso i volumi del Corso di Fisica Teorica di quel geniaccio che era Lev Landau. Nelle prime pagine del secondo volume Landau ricava le trasformate di Lorentz in un modo alternativo a quello classico - maggiormente fisico - insegnato comunemente nei licei e nelle università. Landau vede le trasformate di Lorentz come una rotazione del sistema di coordinate 4-dimensionale, in particolare degli assi xt, yt e zt. Dato che nello spazio 4-dimensionale in questione si fa uso non della metrica euclidea (1, 1, 1) ma di una metrica iperbolica (1, -1, -1, -1) indotta dall’invarianza dell’intervallo ds, le rotazioni in questione sono espresse attraverso le funzioni iperboliche.
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Tutto si riduce in fondo in funzione dell’angolo di rotazione, di cui è facilmente ottenibile la tangete iperbolica
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Meno chiaro mi è invece il perché delle formule per seno e il coseno iperbolici che seguono immediatamente, che vanno poi a determinare la forma del fattore gamma
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Che genere di identità ha usato Landau per passare dal valore della tangente a alle seconde formule? Ho cercato in rete e ho provato a ricavarle da solo senza risultato. L’unica cosa che ho notato è che sono formalmente simili alle trasformate di Laplace di seno e coseno iperboloci a meno di una radice al denominatore.
Dato che Metagame è pieno colmo di matematici, aiutate un mezzo fisico dai
sono in piedi in piazza San Marco a Venezia in coda per entrare nella basilica e fa un po’ freddo quindi perdona se non scrivo una risposta completa. comunque la domanda è di trigonometria iperbolica elementare
tanhx=sinhx/coshx
ricorda l’identità fondamentale della trigonometria iperbolica:
(coshx)^2-(sinhx)^2=1
sostituisci sinhx con V/c * coshx
e ottieni
(coshx)^2 = 1/(1-V^2/c^2)
da cui poi quello che vuoi tu per il coseno iperbolico. per il seno iperbolico just use sinhx = V/c * coshx
No, però se vuoi puoi proporre domande difficili di geometria iperbolica che ignorerò
L’identità fondamentale la conoscevo già, però avevo provato delle sostituzioni e con una che faceva uso delle formule di dimezzamento mi era uscita l’identità fondamentale. Posso dire a tutti gli effetti che è stata fondamentata me medesimo.
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